性病の疑いがある人と食事をした場合、性病が自分自身にうつる可能性はありますか？（大皿の料理を各自の箸で取り合う、タレの入った皿の共有、自分のラーメンをその人の箸を使って食べられるなど）教えていただけたらと思います。

確率は限りなくゼロに近いです。性病は粘膜を離れた瞬間に死滅します。

なので安心いただいて大丈夫です。ましてや料理であれば、かなり温度も高いと思うので心配は無用です。